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日々の感想などどうでもよいことを書き連ねるためだけのブログ。
乱流のコルモゴロフ則 (Kolmogorov's law) のオーダー評価からの簡単な (雑な) 導出のメモ.

粘性を考慮した非圧縮流体の Navier-Stokes equation (ナビエ・ストークス方程式) は
\begin{align*}
\frac{\partial {\bf v}}{\partial t}+\left({\bf v}\cdot\nabla\right){\bf v}=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\nabla^{2}{\bf v}
\end{align*}
で表される.
ただし \({\bf v}\) は流体の速度,\(\rho\) は密度,\(p\) は圧力,\(\nu\) は粘性係数とする.

ここで,波長が \(\lambda\) となるような典型的な速度を \(v_{\lambda}\) とする.レイノルズ数が 1 より大きく,慣性項が優勢な状態ではその他の項は無視できるので,

\begin{align*}
\frac{\partial {\bf v}}{\partial t} \sim \left({\bf v}\cdot\nabla\right)
\end{align*}
となる.

ここでオーダー評価をして,速度に \(v_{\lambda}\),時間微分を \(\displaystyle{\frac{\partial}{\partial t}\sim\frac{1}{t_{\lambda}}}\),空間微分を \(\displaystyle{\nabla}\sim\frac{1}{\lambda}\) をすると,

\begin{align*}
\frac{v_{\lambda}}{t_{\lambda}}\sim\frac{v_{\lambda}^{2}}{\lambda}
\end{align*}
を得る.これより,

\begin{align*}
t_{\lambda}\sim\frac{\lambda}{v_{\lambda}}
\end{align*}
となる.

単位質量あたりの乱流のエネルギーは \(\displaystyle{\frac{1}{2}v_{\lambda}^{2}}\) と書ける.乱流のエネルギー変換率 \(\epsilon\) を見積もると,
\begin{align*}
\epsilon\sim\frac{1}{2}v_{\lambda}^{2}/t_{\lambda}=\frac{1}{2}\frac{v_{\lambda}^{3}}{\lambda}
\end{align*}
となる.

定常状態では,エネルギー変換率は波長 \(\lambda\) によらず一定であるので,\(\epsilon={\rm const.}\) が成り立つ.
つまり
\begin{align*}
\frac{1}{2}\frac{v_{\lambda}^{3}}{\lambda}={\rm const.}
\end{align*}
であるため,
\begin{align*}
v_{\lambda}\propto\lambda^{1/3}
\end{align*}
が得られる.

一方で,波数が \(k\) 〜 \(k+dk\) の範囲にあるエネルギー \(E\!\left(k\right)dk\) は,
\begin{align*}
E\!\left(k\right)dk=\frac{1}{2}v_{\bar{k}}^{2}
\end{align*}
と書ける.\(v_{\bar{k}}\) はその範囲の \(k\) で平均を取った値に相当.

オーダー評価のため \(dk\) を \(k\) とみなすと,
\begin{align*}
E\!\left(k\right)k\approx v_{\bar k}^{2}\propto\lambda^{2/3}\propto k^{-2/3}
\end{align*}
となる.

そのため
\begin{align*}
E\!\left(k\right)\propto k^{-5/3}
\end{align*}
となり,乱流のエネルギースペクトルが \(k\) の -5/3 乗に比例するというコルモゴロフ則が得られた.

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アマガー単位 (Amagat)というものの存在を、つい最近初めて知りました。

まずは"Amagat" (あるいは"amg")というものが、いかにも単位っぽく使われているのを見かけたけど、英和辞書で調べても対応する単語は無し。
何かしらの数密度と関係してそうだということは掴めたものの、詳細はその場には載っていなかったので、気になって正体を捜索してみました。

まず、そもそもの問題として"Amagat"の発音が分からない。
綴りに素直に読むと「アマガット」か?いやいや、これは素直にというか英語読みなだけであって、英語由来かどうかの保証もない。

いろいろ調べた結果、由来はフランス語で、発音は「アマガー」だということが判明しました。
最後の"t"を発音しない、いかにもフランス語っぽいですね。


さて、日本語だとほとんど解説が見当たらないこの「アマガー」、やはり数密度の単位であるということが判明しました。

定義は以下のとおり。
1 amg は、1 atm (=101.325 kPa = 1013.25 hPa)、0℃ (= 273.15 K)における、単位体積あたりの理想気体の分子数密度をあらわす
以上。



さて、具体的な値はと言うと、
n0 = 1 amg = 2.6867805 × 1025m-3
とのこと。
このn0というのは、ロシュミット数 (Loschmidt's constant)といって、アボガドロ定数を理想気体のモル体積で割ったものに相当します。


ちなみにmolを用いて表現すると、
n0 = 1 amg = 44.615036 mol m-3
となります。


要するに大雑把には、ロシュミット数を基準として数密度を表したものが、アマガー単位での数密度になる、という理解でよさそうです。
(もっと深遠な由来があるのかもしれないけど、それは今のところパス)

アマガー単位での数密度をηとすると、

η = n / n0

と表すことができます。nは数密度です。


このアマガー単位、圧力や温度の異なる理想気体に対しては以下のような式で計算することが出来ます。



ここで、
p0 = 1 atm (=101.325 kPa = 1013.25 hPa)
T0 = 273.15 K
です。



ちなみに英語版のWikipediaにはちゃんと記事があって、ちゃんと『アマガーは数密度の実用単位である』と書かれています。
https://en.wikipedia.org/wiki/Amagat

さらには、『Émile Amagatから名付けられた』との記述もあります。
フランス人の物理学者とのことです。




大気化学など一部の分野では、数密度の単位としてこのアマガー単位を用いることがあるとのこと。
確かに数密度は大抵どの状況でも10の何乗という値になって扱いづらいですからね。



さて余談ですが、このアマガー単位について調べていたら、一つ気になる記述を発見しました。
pdfファイル
(167ページ)

いわく、『アマガーは、モル体積とモル密度の両方で使われることがある』とのこと。

ここでは数密度(モル密度)の方を書いたけど、場合によっては同じアマガーでも体積を指している場合があるということらしい。うーん、実にややこしい。

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