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乱流のコルモゴロフ則 (Kolmogorov's law) のオーダー評価からの簡単な (雑な) 導出のメモ.

粘性を考慮した非圧縮流体の Navier-Stokes equation (ナビエ・ストークス方程式) は
\begin{align*}
\frac{\partial {\bf v}}{\partial t}+\left({\bf v}\cdot\nabla\right){\bf v}=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\nabla^{2}{\bf v}
\end{align*}
で表される.
ただし \({\bf v}\) は流体の速度,\(\rho\) は密度,\(p\) は圧力,\(\nu\) は粘性係数とする.

ここで,波長が \(\lambda\) となるような典型的な速度を \(v_{\lambda}\) とする.レイノルズ数が 1 より大きく,慣性項が優勢な状態ではその他の項は無視できるので,

\begin{align*}
\frac{\partial {\bf v}}{\partial t} \sim \left({\bf v}\cdot\nabla\right)
\end{align*}
となる.

ここでオーダー評価をして,速度に \(v_{\lambda}\),時間微分を \(\displaystyle{\frac{\partial}{\partial t}\sim\frac{1}{t_{\lambda}}}\),空間微分を \(\displaystyle{\nabla}\sim\frac{1}{\lambda}\) をすると,

\begin{align*}
\frac{v_{\lambda}}{t_{\lambda}}\sim\frac{v_{\lambda}^{2}}{\lambda}
\end{align*}
を得る.これより,

\begin{align*}
t_{\lambda}\sim\frac{\lambda}{v_{\lambda}}
\end{align*}
となる.

単位質量あたりの乱流のエネルギーは \(\displaystyle{\frac{1}{2}v_{\lambda}^{2}}\) と書ける.乱流のエネルギー変換率 \(\epsilon\) を見積もると,
\begin{align*}
\epsilon\sim\frac{1}{2}v_{\lambda}^{2}/t_{\lambda}=\frac{1}{2}\frac{v_{\lambda}^{3}}{\lambda}
\end{align*}
となる.

定常状態では,エネルギー変換率は波長 \(\lambda\) によらず一定であるので,\(\epsilon={\rm const.}\) が成り立つ.
つまり
\begin{align*}
\frac{1}{2}\frac{v_{\lambda}^{3}}{\lambda}={\rm const.}
\end{align*}
であるため,
\begin{align*}
v_{\lambda}\propto\lambda^{1/3}
\end{align*}
が得られる.

一方で,波数が \(k\) 〜 \(k+dk\) の範囲にあるエネルギー \(E\!\left(k\right)dk\) は,
\begin{align*}
E\!\left(k\right)dk=\frac{1}{2}v_{\bar{k}}^{2}
\end{align*}
と書ける.\(v_{\bar{k}}\) はその範囲の \(k\) で平均を取った値に相当.

オーダー評価のため \(dk\) を \(k\) とみなすと,
\begin{align*}
E\!\left(k\right)k\approx v_{\bar k}^{2}\propto\lambda^{2/3}\propto k^{-2/3}
\end{align*}
となる.

そのため
\begin{align*}
E\!\left(k\right)\propto k^{-5/3}
\end{align*}
となり,乱流のエネルギースペクトルが \(k\) の -5/3 乗に比例するというコルモゴロフ則が得られた.

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